1 冲量定义

冲量是作用在物体上的力在时间上的累积。冲量的量纲和单位都与动量一样，即：（kg·m/s或N·s） 表现的是一个随时间改变的力对一个物体的冲量指这个力的作用对时间的积累效果。

即力对时间的积分：

式 1

其中：

• I是冲量（也记作J）
• F是作用的力 （N）
• t是时间 （s）

2 算例

1000 N的力在10秒内作用在质量为 1000 kg的物体上。

图 1

冲量变化计算如下：

I = (1000 N) (10 s)

  = 10000 (N·s, kg·m/s)

1 动量

1.1 动量定义

在经典力学里，动量（momentum）被量化为物体的质量和速度的乘积。直观表现为一个物体的动量指的是这个物体在它运动方向上保持运动的趋势。动量在国际单位制中的单位为kg·m/s。动量是个矢量。

p=m·v

式 1

式 2

其中：

• P=动量
• m= 质量 （Kg）-静止质量
• v= 速度（m/s）
• c= 光速 （299792458m/s）

注：一般情况用式1

在给定方向上碰撞之前的两个或多个物体的总动量等于在相同方向上碰撞之后的物体的总动量，可以表示为：

M _L = m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂ + .. + m _n v _n

        = m ₁ u ₁ + m ₂ u ₂ + .. + m _n u _n   

• v =碰撞前物体的速度（m / s）
• u =碰撞后物体的速度（m / s）

1.2 动量守恒定律

动量是一个守恒量，即在一个封闭系统内动量的总和不可改变。若有系统外合（净）力为零，则系统内各质点相互作用力亦为零（可视为牛顿第三定律，作用力反作用力原理），故动量变化为零，所以动量守恒。

动量守恒定律具有普遍意义，适用于宏观、微观。

1.3 算例

因为动量是矢量，所以子弹从起先静止的枪中射出后，尽管子弹和枪都在运动，但由于子弹的动量与枪的动量等值反向，它们相互抵消，使得子弹与枪形成的系统中动量的总和依然为零。

重达3 Kg的步枪以800 m/s的枪口速度发射重达0.025 Kg的子弹。步枪和子弹的总动量可表示为:

ML = (3 Kg) (0 m/s) + (0.025 Kg) (0 m/s)

     = (3 Kg) u_r (m/s) + (0.025 Kg) (800 m/s)

     = 0

因此枪身的后坐速度为：

u_r = – (0.025 Kg) (800 m/s) / (3 Kg)

    = -6.667 (m/s)

枪身后坐的动能可计算为：

E = 1/2 m u_r²

   = 1/2 (3 Kg) (-6.667)²

   = 66.67 (N·m或焦耳J)

减慢后坐力所需的力取决于减慢距离。在减速距离s = 0.1m的情况下。

其后坐力可以计算为：

F = E / s

  = (66.67 N m) / (0.1 m)

  = 666.7 N 或 直观感受为：67.96 Kg

1 单摆定义

单摆是能够产生往复摆动的一种装置，将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端固结一个重小球，就构成单摆。若小球只限于铅直平面内摆动，则为平面单摆，若小球摆动不限于铅直平面，则为球面单摆。

图 1

2 单摆周期

在小振幅（角α ≤ 5°）下，单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关。

式 1

其中:

• T =一周期的振荡周期（s）
• L =摆的长度（m）
• g= 重力加速度（9.81 m/s²）

由于单摆的周期只与摆长l和重力加速度g相关，因此单摆可以作一个简单的计时器。

1  马力定义

马力（英语：horsepower，hp），俗称匹，是一个古老的功率单位。今日除了航空、造船与汽车工业提及内燃机的功率、空调的制冷性能以外，在其他领域较少用马力这个单位，而会使用标准的国际功率单位瓦特。 马力的定义有很多种，现今常用的两种马力为英制马力和公制马力，英制马力约为745.7W，公制马力约为735.5W。

马力单位概念是由蒸汽机改良者詹姆斯-瓦特命名，用以表示他的蒸汽机相对于马匹拉力的功率，定义为：一匹马在1分钟的时间，拖动半径为12英尺水车2.4圈，亦即(2.4*2π*12英尺)的距离*瓦特假设每匹马能拉动180磅，马力即可透过下式计算：功/时间=力*距离/时间=(180磅力)*(2.4*2π*12英尺)/1分钟=32572英尺·磅力/分钟。约等于33,000英尺‧磅力/分钟

有时为了区别不同的马力定义，会在马力符号hp的后面加上一个后缀，例如：hp(I)代表英制马力（Imperial horsepower）或机械马力，hp(M)代表公制马力（Metric horsepower），hp(S)代表蒸气马力（Steam horsepower），即锅炉马力，hp(E)代表电气马力（Electrical horsepower）。

液压马力与机械马力是相等的。以上公式乃是便于液压或水力系统中的计算。

2  空调匹数

空调系统的匹数不是指电功率。一匹是指制冷量8000-9000BTU/hr (2.34-2.64kW)的冷气机。功率1匹空调冷气机的电功率大约960W。

一匹的定频式冷气机（9000BTU/hr）的电功率一般介于800W到1000W。

一匹的变频式冷气机（1700-10,500BTU/hr）能够在250W到1250W间运行。若以供暖模式（12,000BTU/hr）运作，电功率可达到1600W。

注：BTU是英制热单位(British thermal unit，简称BTU，有时也被写成 Btu) 是一个传统英制的能量或热量单位，约等于 1055 焦耳，是将一磅的水由华氏39度加热至华氏40度所需的热能。 此一单位通常用在蒸汽机、暖气、冷气、电热等产业。

焦耳（J）是更为普遍的科学界通常使用 SI 制标准单位。

1 角运动中物体的力和力矩

旋转物体的功率可以表示为：

P = T·ω

   = T·2 π·n_rps  

   = T·π·n_rpm / 30    

式 1

其中：

• P = 功率 (W)
• T = 扭矩 (Nm)
• ω = 角速度 (rad/s)-弧度单位
• π = 3.14…
• n_rps = 每秒转数(rps, 1/s)
• n_rpm = 每分钟转数 (rpm, 1/min)

弧度-角度转换：1 rad = 360^o/ 2 π ≈ 57.29578^o

1.1 扭矩和扭力的关系

T = I·α 

式 2

• I = 转动惯量（kgˑm²）
• α=角加速度 (rad/s²)

2 算例

电动机以3600 rpm的速度旋转，测量的功率消耗为2000W。电动机产生的力矩（无损耗）可通过将式1重新排列计算得到：

T = 30 P / (π n_rpm) 

   = 30 (2000 W) / (π (3600 rpm))  

   = 5.3 Nm

 

 

1        弹性模量

1.1        杨氏模量-拉压模量

杨氏模量也称杨氏模数（英语：Young’s modulus），一般将杨氏模量习惯称为弹性模量。弹性材料承受正向应力时会产生正向应变，在形变量没有超过对应材料的一定弹性限度时（符合胡克定律阶段），定义正向应力与正向应变的比值为这种材料的杨氏模量。其公式为：

E = 应力 / 应变

= σ / ε

= (F / A) / (dl / l₀)

式 1

其中：

• E = 杨氏模量 (Pa, N/m²)
• σ = 应力（N）
• ε =应变（m / m）
• F = 载荷（N）
• dl =物体的伸长或压缩量（m）
• l₀=物体原始的长度（m）

1.2        剪切模量

剪力模数（shear modulus）定义为剪应力与剪应变的比值

G = stress / strain

   = τ / γ

   = (F_p / A) / (s / d)

式 2

其中：

• G =剪切弹性模量-或刚性模量（N / m²）
• τ=剪应力（Pa，N / m²）
• γ=剪切应变表示符号
• F_p =平行于其作用面的力
• A =面积（m2）
• s =面的位移（m）
• d =位移面之间的距离（m）

1.3        杨氏模量和剪切模量的关系

在均质且等向性的材料中：

式 3

其中：     

• E=杨氏模量 (Young’s modulus )
• µ=泊松比 (Poisson’s ratio)
  

1.4        体积模量 （Bulk Modulus)

体积模量 （Bulk Modulus）也称为不可压缩量，是材料对于表面四周压强产生形变程度的度量。它被定义为产生单位相对体积收缩所需的压强。单位为：Pa（N/m²）

其计算公式为：

式 4

其中:

• p=压力 (N)
• V =体积 (m³)
•  ∂p/∂V=压力对体积的偏导数。

体积模量的倒数即为一种物质的压缩率。

2        常用材料的弹性模量

注：1 GPa = 109 Pa (N/m2)

1 应力

在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受的作用力。分类如下：

• 拉应力——趋于拉伸或拉长材料的应力-垂直于应力区域作用；
• 压应力——趋于压缩或缩短材料的应力-垂直于应力区域作用；
• 剪切应力——易于剪切材料的应力-在平面上以直角作用于受力区域，产生压缩应力或拉伸应力

图 1

1.1        拉应力或压应力

以上图为例，拉应力和压应力计算公式：

σ = F/A_截面

式 1

其中：

• σ =应力（Pa（N / m²））
• F =垂直于面积（N）的法向力
• A_截面 =截面面积（m²）

1.1.1   算例

10kN的拉力作用在圆形棒直径10mm的杆件上。杆中的应力可以计算为

σ = (10×10³N) / (π ((10×10^-3 m) / 2)²)

=127388535 (N/m²) 

=127 (MPa)

1.2 剪应力

以图1为例，剪应力计算公式：

σ = F/A_胶接面

式 2

其中：

• σ =应力（Pa（N / m²））
• F =平行于胶接处（N）的力
• A_胶接面 =胶接面面积（m²）

剪切力致使物体的两个部分趋于相互滑动的力。

2 应变（变形）

应变的定义：一微小材料元素承受应力时所产生的变形强度(或简称为单位长度变形量)，因此是一个无量纲量。

• 法向应变（正应变）-由法向力引起的应变；
• 剪切应变-由剪切力引起的应变。

法向应变，可以表示为

ε = dl / l_o

= σ / E

式 3

其中：

• dl = 长度变化量(m)
• l_o = 初始长度(m)
• ε = 应变（无单位）
• E = 杨氏模量 (Pa , N/m²)

2.1 算例

在已知杆件材料杨氏模量E=200 GPa，施加的应力为σ=127 MPa，杆件初始长度l₀=2m，计算杆件的伸长量：

dl = σ lo / E

= (127×10⁶ Pa) (2 m) / (200×10⁹ Pa) 

= 0.00127 m

= 1.27 mm

1 杨氏模量 E

杨氏模量也称杨氏模数（英语：Young’s modulus），一般将杨氏模量习惯称为弹性模量。弹性材料承受正向应力时会产生正向应变，在形变量没有超过对应材料的一定弹性限度时，定义正向应力与正向应变的比值为这种材料的杨氏模量。其公式为：

E = 应力 / 应变

= σ / ε

= (F / A) / (dL / L)

式 1

其中：

• E = 杨氏模量 (Pa, N/m²)
• σ = 应力（N）
• ε =应变（m / m）
• F = 载荷（N）
• dL =物体的伸长或压缩量（m）
• L =物体原始的长度（m）

2 应变-ε

应变是“由于应力导致的固体变形”-尺寸变化除以尺寸的原始值-可以表示为

ε = dL / L

式 2

其中：

• ε =应变（m / m）
• dL =物体（m）的伸长或压缩
• L =物体的长度（m）

只要应力小于材料的屈服强度，就可以用上式来预测物体的伸长或压缩量。

3 应力-σ

应力是每单位面积所受的力，可以表示为：

σ= F / A

式 3

其中：

• σ=应力（N / m²）
• F =施加力（N，lb）
• A =物体的受力面积（m²）

4  常见材料拉伸杨氏模量，抗拉强度和屈服强度。

材料	拉伸模量 E（GPa）	极限抗拉强度 σ（MPa）	屈服强度 σ（MPa）
ABS塑料	1.4-3.1	40	–
亚克力(丙烯酸塑料)	3.2	70	–
铝青铜	120	–	–
铝	69	110	95
铝合金	70	–	–
锑	78	–	–
芳纶	70-112	–	–
铍	287	–	–
铍铜	124	–	–
铋	32	–	–
硼	–	–	3100
黄铜	102-125	250	–
海军黄铜	100	–	–
青铜	96-120	–	–
镉	32	–	–
碳纤维增强塑料	150	–	–
碳纳米管，单壁	1000	–	–
铸铁4.5％C，ASTM A-48	–	170	–
纤维素，棉花，木浆和再生	–	80-240	–
醋酸纤维素，模制	–	Dec-58	–
醋酸纤维素片	–	30-52	–
硝酸纤维素，赛璐oid	–	50	–
氯化聚醚	1.1	39	–
氯化PVC（CPVC）	2.9	–	–
铬	248	–	–
钴	207	–	–
水泥	17	–	–
铜	117	220	70
钻石（C）	1220	–	–
环氧树脂	3	26-85	–
纤维板，中密度	4	–	–
亚麻纤维	58	–	–
玻璃	50-90	50	–
玻璃纤维增​​强聚酯基体	17	–	–
金	74	–	–
花岗岩	52	–	–
石墨烯	1000	–	–
灰铸铁	130	–	–
麻纤维	35	–	–
因科内尔	214	–	–
铱	517	–	–
铁	210	–	–
铅	13.8	–	–
金属镁（Mg）	45	–	–
锰	159	–	–
大理石	–	15	–
MDF-中密度纤维板	4	–	–
汞	–	–	–
钼（Mo）	329	–	–
蒙乃尔金属	179	–	–
镍	170	–	–
镍银	128	–	–
镍钢	200	–	–
铌（Co）	103	–	–
尼龙6	2-Apr	45-90	45
尼龙66	–	60-80	–
橡木（沿纹理）	11	–	–
酚醛树脂	–	33-59	–
苯酚甲醛模塑料	–	45-52	–
磷青铜	116	–	–
松木（沿纹理）	9	40	–
铂	147	–	–
钚	97	–	–
聚丙烯腈，纤维	–	200	–
聚苯并恶唑	3.5	–	–
聚碳酸酯	2.6	52-62	–
聚乙烯HDPE（高密度）	0.8	15	–
聚对苯二甲酸乙二醇酯，PET	2-2.7	55	–
聚酰胺纤维	2.5	85	–
聚异戊二烯，硬橡胶	–	39	–
聚甲基丙烯酸甲酯（PMMA）	2.4-3.4	–	–
聚酰亚胺芳烃	3.1	68	–
聚丙烯，PP	1.5-2	28-36	–
聚苯乙烯，PS	3-3.5	30-100	–
聚乙烯，LDPE（低密度）	0.11-0.45	–	–
聚四氟乙烯（PTFE）	0.4	–	–
聚氨酯浇铸液	–	Oct-20	–
聚氨酯弹性体	–	29-55	–
聚氯乙烯（PVC）	2.4-4.1	–	–
钾盐	–	–	–
铑	290	–	–
橡胶，小应变	0.01-0.1	–	–
蓝宝石	435	–	–
硒	58	–	–
硅	130-185	–	–
碳化硅	450	–	3440
银	72	–	–
钠	–	–	–
钢，高强度合金ASTM A-514	–	760	690
精钢AISI 302	180	860	502
钢，结构ASTM-A36	200	400	250
钽	186	–	–
钍	59	–	–
锡	47	–	–
钛	–	–	–
钛合金	105-120	900	730
牙釉质	83	–	–
钨（W）	400-410	–	–
碳化钨（WC）	450-650	–	–
铀	170	–	–
钒	131	–	–
铁艺	190-210	–	–
锌锌	83	–	–

表 1

1 Pa (N/m²) = 1×10^-6 N/mm² = 1.4504×10^-4 psi

1 MPa = 10⁶ Pa (N/m²) = 0.145×10³ psi (lb_f/in²) = 0.145 ksi

1 GPa = 10⁹ N/m² = 10⁶ N/cm²  = 10³ N/mm² = 0.145×10⁶ psi (lb_f/in²)

1 Mpsi = 10⁶ psi = 10³ ksi

1 psi (lb/in²) = 0.001 ksi = 144 psf (lb_f/ft²) = 6,894.8 Pa (N/m²) = 6.895×10^-3 N/mm²

1  紧固件类别

紧固件类型参考文献下载：fastener-types.pdf

1 泊松比

泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。

图 1

在材料的弹性范围内加载，泊松比计算为：

µ= |-∆W/W| / |∆L/L|

2 常见金属的泊松比：

金属名称	– μ –
铝	0.33
铝青铜	0.3
铍	0.024 – 0.03
铸铁	0.26
青铜	0.34
铜	0.36
金	0.42
铅	0.40 – 0.45
镁	0.35
软钢	0.3
钼	0.32
黄铜	0.34
镍	0.31
磷青铜	0.33
铂	0.39
钚	0.15 – 0.21
银	0.37
不锈钢	0.3
钽	0.35
钍	0.27
锡	0.33
钛	0.3
钨丝	0.28
铀	0.21
铁	0.3
锌	0.25

1 重心和浮心的定义

重心是指地球对物体中每一微小部分引力的合力作用点。体积，面积或线的“重心”是物体（如果悬吊起来）将达到平衡的点。

浮心是指浮体或潜体水下部分体积的形心。当浮体方位在铅直面内发生偏转时，其水下部分的体积虽保持不变，但其形状却发生变化，因而浮心的位置也相应地移动。

浮心和重心的相对位置对于判断浮体是否为稳定平衡有重要意义。

图 1

当船体垂直时，重心和浮力中心在同一垂直线上，船体是稳定态。

对于大多数船体，浮力中心低于重心，并且船体被认为是亚稳定态。

当船体倾斜时，重心保持在与船体相关的相同位置（只要船体没有变化和/或货物没有移动）。 浮力中心将移动以适应新的重心，以适应船体的排水量。

在开始时，重力和浮力将产生一个附加扭矩将船体移回垂直位置。

但如果船体倾斜太多，则浮力中心将移至浮力和重力开始产生作用于相同方向的力矩的位置，那么船体将

倾覆。

质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。

1        质心计算公式

式 1

其中：

• m 为系统内单个质点的质量
• r 为各质点相对于某一坐标原点的距离
• M 为系统的总质量

若选择不同的坐标系，质心坐标的具体数值就会不同，质心相对于质点系中各质点的相对位置与坐标系的选择无关。质点系的质心仅与各质点的质量大小和分布的相对位置有关

2        算例

图 1

质心位置计算：

取m_a处为坐标原点

R_x = (m_a r_a + m_b r_b) / (m_a + m_b)

= (m_b / (m_a + m_b)) d 

式 2

其中：

• R_x=重心的x坐标

重心是指地球对物体中每一微小部分引力的合力作用点。体积，面积或线的“重心”是物体（如果悬吊起来）将达到平衡的点。

1 基于周长的重心计算

图 1

重心是三角形ABC（三角形边的中点）上刻有圆的中心。

距离d的计算：

d = h（b + c）/ 2（a + b + c）

式 1

2 三角形重心的计算

图 2

三角形的重心在直线BE和AD的交点处。

距离a的计算：

a = h / 3 

式 2

3 平行四边形的重心的计算

图 3

平行四边形的重心在对角线的交点处。

4 梯形的重心的计算

图 4

梯形的重心可以通过将梯形分成两个三角形来估算。重心将在中线CD和三角形重心之间的线的交点处。

5 两个物体的重心的计算

图 5

两个物体的重心用以下公式计算：

b = Q a / (P + Q)

c = P a / (P + Q)

其中：

• P, Q为物体的重量或者质量（N，Kg）

常见工程材料如钢，塑料，陶瓷和复合材料的典型属性

1 复合材料

材料	密度- ρ – (103 kg/m3)	拉伸模量- E – (GPa)	抗拉强度- σ – (MPa)	比模量- E / ρ –	比强度- σ / ρ –	最高使用温度(oC)
玻璃-环氧树脂（35％）	1.9	25	300	13.2	0.16	80 – 200
玻璃纤维-聚酯（35％）	2	15.7	130	7.85	0.065	80 – 125
玻璃纤维尼龙（35％）	1.6	14.5	200	8.95	0.12	75 – 110
高强度玻璃纤维-环氧树脂（45％）	1.8	39.5	870	21.8	0.48	80 – 215
环氧碳（61％）	1.6	142	1730	89.3	1.08	80 – 215
芳纶环氧（53％）	1.35	63.6	1100	47.1	0.81	80 – 215

表 1

2        金属

材料	密度- ρ – (103 kg/m3)	拉伸模量- E – (GPa)	抗拉强度- σ – (MPa)	比模量- E / ρ –	比强度- σ / ρ –	最高使用温度(oC)
铸铁	7.15	100	140	14.3	0.02	230 – 300
钢，AISI 1045	7.7 – 8.03	205	585	26.3	0.073	500 – 650
铝-2045-T4	2.7	73	450	27	0.17	150 – 250
铝-6061-T6	2.7	69	270	25.5	0.1	150 – 250

表 2

3        陶瓷

材料	密度- ρ – (103 kg/m3)	拉伸模量- E – (GPa)	抗拉强度- σ – (MPa)	比模量- E / ρ –	比强度- σ / ρ –	最高使用温度(oC)
氧化铝	3.8	350	170	92.1	0.045	1425-1540
氧化镁	3.6	205	60	56.9	0.017	900-1000

表 3

4        塑料

材料	密度- ρ – (103 kg/m3)	拉伸模量- E – (GPa)	抗拉强度- σ – (MPa)	比模量- E / ρ –	比强度- σ / ρ –	最高使用温度(oC)
尼龙	1.15	2-3.6	82	2.52	0.071	75-100
聚乙烯（HDPE）	0.9-1.4	0.18-1.6	15
聚丙烯	0.9-1.24	1.4	33	1.55	0.037	50-80
环氧树脂	1.25	3.5	69	2.8	0.055	80-215
酚醛	1.35	3	6	2.22	0.004	70-120

注：

1 GPa = 1x10⁹ Pa = 1.45x10⁵psi

1 MPa = 10⁶ Pa

1 kg/m³ = 0.0624 lb/ft³

1 纬度，高度对重力加速度的影响

重力加速度g的方向总是竖直向下的，但由于地球是非完美球体及其自转，重力加速度的方向并不通过地心。重力是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供了物

体绕地轴作圆周运动所需要的向心力。物体所处的地理位置纬度越高，圆周运动轨道半径越小，需要的向心力也越小，重力将随之增大，重力加速度也变大。地理南北两极处的圆周运动轨道半径为0，需要的向心力也为0，重力等于万有引力，此时的重力加速度也达到最大。

1.1   各纬度的海平面高度的重力加速度（m/s²）

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纬度	重力加速度
0	9.7803
10	9.78186
20	9.78634
30	9.79321
40	9.80166
50	9.81066
60	9.81914
70	9.82606
80	9.83058
90	9.83218

表 1

1.2        不同高度的重力加速度 (m/s2）

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表 2

1.3        重力加速度g的几个常见取值

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地点	维度	重力加速度 (m/s2)
北极	90° 0′	9.8321
阿拉斯加（北美）	61° 10′	9.8218
格林威治	51° 29′	9.8119
巴黎	48° 50′	9.8094
北京	39° 56′	9.80122
巴拿马	8° 55′	9.7822
赤道	0° 0′	9.7799

表 3

1 惯性矩计算

面惯性矩或面积惯性矩-也称为面积第二矩- I，是一种形状特性，用于预测梁的挠度，弯曲和应力等。

绕轴弯曲的惯性矩的一般公式可以表示为

I_x = ∫ y² dA 

其中：

• I_x=与轴相关的惯性面积矩（m⁴，mm⁴，in⁴，ft⁴）
• y =轴到元素dA的垂直距离（m，mm，in，ft）
• dA=元素面积（m²，mm²，in²，ft²）

2 常见截面惯性矩

2.1 矩形

2.2 圆形

2.3  圆环

2.4  工字钢

3 惯性矩单位转换器

单位	m4	cm4	mm4
m4	1	108	1012
cm4	10-8	1	104
mm4	10-12	10-4	1

1        悬臂梁的单点载荷计算

图 1

1.1        弯矩计算

M_A = – F a b (L + b) / (2 L²)

式 1

其中：

M_A =固定端A的力矩（Nm）

F = 载荷 (N)

M_F = R_b b

其中：

• M_F =负载点F的力矩（Nm）
• R_b =支撑B处的支反力（N）

1.2        挠度计算

δ_F = F a³ b² (3 L + b) / (12 L³ E I)  

式 2

其中：

• δmax=挠度（m）
• E =弹性模量（Pa（N / m²），N / mm²，psi）
• I =惯性面积矩（m⁴，mm⁴）

1.3        支反力计算

R_A = F b (3 L² – b²) / (2 L³)

式 3

R_A =固定端A的支反力（N）

R_B = F a² (b + 2 L ) / (2 L³) 

式 4

• R_B =固定端B的支反力（N）

2 悬臂梁的均布载荷计算

图 2

2.1 弯矩计算

M_A = – q L² / 8 

式 5

其中：

• M_A =固定端A的力矩（Nm）
• q = 均布载荷 (N/m)

M₁ = 9 q L² / 128

式 6

其中：

• M₁ = 0.625 L（Nm）时为最大弯矩

2.2 挠度计算

δ_max = q L⁴ / (185 E I)

式 7

其中：

• δmax= 0.579 L（Nm）时为最大挠度

δ_1/2 = q L⁴ / (192 E I)  

式 8

• δ_1/2 = L / 2   (m) 的挠度

2.3 支反力计算

R_A = 5 q L / 8

式 9

• R_A =固定端A的支反力（N）

R_B = 3 q L / 8 

式 10

• R_B =固定端B的支反力（N）

3 悬臂梁的梯形载荷计算

图 3

3.1        弯矩计算

M_A = – q L² / 15 

式 11

其中：

• M_A =固定端A的力矩（Nm）
• q = 梯形载荷 (N/m)

M₁ = q L² / 33.6

式 12

其中：

• M₁ = 0.553 L（Nm）时为最大弯矩

3.2 挠度计算

δ_max = q L⁴ / (419 E I)

式 13

其中：

• δmax= 0.553 L（Nm）时为最大挠度

δ_1/2 = q L⁴ / (427 E I)  

式 14

• δ_1/2 = L / 2   (m) 的挠度

3.3 支反力计算

R_A = 2 q L / 5 

式 15

• R_A =固定端A的支反力（N）

R_B = q L / 10

式 16

• R_B =固定端B的支反力（N）

4 悬臂梁的附加弯矩计算

图 4

4.1 弯矩计算

M_A = -M_B / 2

式 17

其中：

• M_A =固定端A的力矩（Nm）

4.2 挠度计算

δ_max = M_B L² / (27 E I) 

式 18

其中：

• δ_max = 2/3 L  (m)为最大挠度

4.3 支反力计算

R_A = 3 M_B / (2 L)

式 19

• R_A =固定端A的支反力（N）

R_B = – 3 M_B / (2 L) 

式 20

• R_B =固定端B的支反力（N）

1 简支梁单点载荷计算

图 1

1.1 弯矩计算

MA = – F a b² / L2  

式 1

其中：

• MA =固定端A处的力矩（Nm）
• F = 载荷 (N)

MB = – F a² b / L² 

式 2

• M_B =固定端B的力矩（Nm）

M_F = 2 F a² b² / L³ 

式 3

• M_F =点载荷时的力矩（Nm）

1.2 挠度计算

δ_F = F a³ b³ / (3 L³ E I) 

式 4

• δ_F=点载荷时的挠度（m）
• E =弹性模量（Pa（N / m²），N / mm²）
• I =惯性面积矩（m⁴，mm⁴）

1.3 支反力计算

R_A = F (3 a + b) b² / L³

式 5

• R_A =固定端A的支反力（N）

R_B = F (a + 3 b) a² / L³  

式 6

• R_B =固定端B的支反力（N）

2 简支梁的均布载荷计算

图 2

2.1        弯矩计算

M_A = – q L² / 20  

式 7

• M_A =固定端A的力矩（Nm）
• q =均匀下降载荷（N / m）

M_B = – q L² / 30  

式 8

• M_B =固定端B的力矩（Nm）

M₁ = q L² / 46.6  

式 9

• M₁ = 0.475 L（Nm）时的力矩

2.2 挠度计算

δ_max = q L⁴ / (384 E I)

式 10

• δ_max=中心的最大挠度（m）
• E =弹性模量（Pa（N / m²），N / mm²，psi）
• I =惯性面积矩（m⁴，mm⁴）

2.3 支反力计算

R_A = R_B

    = q L / 2 

式 11

• R =固定端的支反力（N）

3        简支梁梯形分布载荷计算

图 3

3.1 弯矩计算

M_A = – q L² / 20  

式 12

• M_A =固定端A的力矩（Nm）
• q =均匀下降载荷（N / m ）

M_B = – q L² / 30 

式 13

• M_B =固定端B的力矩（Nm）

M₁ = q L² / 46.6

式 14

• M₁ = 0.475 L（Nm）时的力矩

3.2 挠度计算

δ_max = q L⁴ / (764 E I) 

式 15

• δ_max= 0.475 L（m）时的最大挠度
• E =弹性模量（Pa（N / m²），N / mm²，psi）
• I =惯性面积矩（m⁴，mm⁴）

δ_1/2 = q L⁴ / (768 E I) 

式 16

• δ_1/2 = 0.5 L 时的挠度(m)

3.3 支反力计算

R_A = 7 q L / 20

式 17

• R_A =固定端A的支反力（N）

R_B = 3 q L / 20

式 18

• R_B =固定端B的支反力（N）

4 简支梁部分均匀的连续分布载荷计算

图 4

4.1        弯矩计算

M_A = – (q a² / 6) (3 – 4 a / l + 1.5 (a / L)²)

式 19

其中：

• M_A =固定端A的力矩（Nm）
• q =部分均匀载荷（N / m ）

M_B = – (q a² / 3) (a / L – 0.75 (a / L)²)

式 20

• M_B =固定端B的力矩（Nm）

4.2        支反力计算

R_A = q a (L – 0.5 a) / L – (M_A – M_B) / L 

式 21

其中：

• R_A =固定端A的支反力（N）

R_B = q a² / (2 L) + (M_A – M_B) / L    

式 22

• R_B =固定端B的支反力（N）

对数分贝刻度便于计算两个或多个声源的声功率级

分贝（dB）是对数单位，用于表示两个信号值（例如功率，声功率或压力，电压，强度等）之比，其中一个值为参考值。

1  计算相等信号的声强级（dB-分贝）：

来自相等强度信号源的总信号声强以分贝为单位可以计算为

L_t =  10 log (n S / S_ref)

= 10 log (S / S_ref) + 10 log (n)

= L_s + 10 log (n)

其中：

• Lt =总信号声强（dB）
• S =信号（信号单位）
• S_ref =信号参考（信号单位）
• n =来源数量
• Ls =每个单个信号源的信号声强（dB）

信号单位取决于信号的性质-W代表功率，Pa代表压力，依此类推。

算例：–来自两个相同风扇的总声强级（dB-分贝）

对于声功率，通常使用10^-12 W作为参考声功率。 来自两个相同风扇（每个产生1W的声功率）的总声功率可分别计算为噪声功率为：

L_t =  10 log (2 (1 W) / (1 10^-12 W))

              = 123 dB

声功率和声功率水平通常用于指定从风扇，泵或其他机器等技术设备发出的噪声或声音。 用麦克风或传感器（米）测量的“声音”是声压。

2  计算不相等信号的声强级（dB-分贝）：

来自不同强度的信号源的总信号声强级可以计算为：

L_t =  10 log ((S₁ + S₂ … + S_n) / S_ref)

算例–来自两个不同风扇的总声强级（dB-分贝）：

计算两个风扇的总噪声功率：一个风扇的声功率为1 W，另一个风扇的声功率为0.5 W

L_t =  10 log (((1 W) + (0.5 W)) / (1 10^-12 W))

= 122 dB

 

算例–增加声源在最终声强级中的计算：

 

两个信号间声强级之差 （dB）	添加到最高信号声强级 （dB）
0	3
1	2.5
2	2
3	2
4	1.5
5	1
6	1
7	1
8	0.5
9	0.5
10	0.5
> 10	0

一个风扇的声功率为1 W：

L_s1 = 10 log((1 W) / (1 10^-12 W))

= 120 dB

另一个风扇的声功率为0.5 W：

L_s2 = 10 log((0.5 W) / (1 10^-12 W))

= 117 dB

声源的声强级的差值：

L_s1 – L_s2

= (120 dB) – (117 dB)

= 3 dB

从上表或图表中，相差3 dB要求必须将2 dB添加到最高声压源：

L_t = (120 dB) + (2 dB)

= 122 dB

1  典型环境中可接受的噪声- dB(A) 

使用分贝（dB）作为声强级的优势：

1. 它适应人耳对声音的反应-人类的听力；
2. 使用“低成本”仪器测量噪声的可能性。

在常见环境中的最大可接受等效声级- L_eq ：

位置	效果	最大值 Leq	时间	一天中的时间
		(dBA)	(小时)
卧室	睡眠障碍，烦人	30	8	夜晚
生活区域	烦人，语音干扰	50	16	白天
户外生活区	中度烦恼	50	16	白天
户外生活区	严重的烦恼	55	16	白天
户外生活区	睡眠障碍，窗户开着	45	8	夜晚
学校教室	语音干扰，通讯干扰	35	8	白天
医院病房	睡眠障碍，通讯干扰	30 – 35	8	白天和夜晚

 

来自声源的声压会随着与声源的距离增大而减小

1 球衰减

图 1

距噪声源的球面距离的声压可计算为：

p² = ρ c N / (4 π r²)

式 1

其中：

• p =声压（Pa，N / m²）
• ρ=空气密度（kg / m³）
• c =声速（m / s） n
• N =声功率（W）
• π= 3.14
• r =距光源的距离（m）

2 半球衰减

图 2

距声源半球形空间的声压可以表示为：

p² = ρ c N / (4 π r² / 2)

= 2 ρ c N / (4 π r²)

式 2

距声源距离的声压的更通用表达式可以表示为：

p² = D ρ c N / (4 π r²)

式 2

其中：

• D =方向性系数（球面取1，半球面取2）

方向性系数取决于几个参数-源的位置和方向，房间和周围区域等。

声压级L_p–分贝为对数表示为：

L_p = 20 log (p / p_ref)

= 20 log ((D ρ c N / (4 π r²))^1/2 / p_ref)

= 20 log (1 / r (D ρ c N / (4 π))^1/2 / p_ref)

式 3

其中：

• L_p =声压级（dB）
• p_ref = 2 x 10^-5 – 参考声压(Pa)
  

3 算例-刨床的声压计算

木材刨床产生的声功率估计为0.01W。距刨床10m处的声压可计算为：

L_p = 20 log ((D ρ c N / (4 π r²))^1/2 / p_ref )

= 20 log (2 (1 kg/m³) (331.2 m/s) (0.01 W) / (4 π (10 m)²))^1/2 / (2e10^-5 Pa))

= 71 dB

  

声功率是指能量源发出的能量速率，即每单位时间的声音能量（J / s或W，SI单位）。

当声音通过介质传播时，会传递声功率。 声强是通过表面的声功率传输（W / m²）-方向通过表面的向量。 因此，可以通过积分周围表面的声强来计算从源辐射的声功率：

N = ∫_S  I·n dS  

其中：

N =从源辐射的声功率（W）

I =声音强度-穿过表面的声功率（W / m²）

n =垂直于表面积的单位向量

S =光源周围的表面积（m²）

对于在各个方向（通过虚拟球形表面）传播声音的源，可以将声功率修改为

N = 4 π r² I

其中：

r = 球面半径 (m)

I =声音强度-穿过表面的声功率（W / m²）

声功率级（dB）

用对数“分贝”标度表示相对于参考功率的声音功率10^-12 W

L_N = 10 log₁₀(N / N_ref)

= 10 log₁₀(N) + 120

其中：

L_N =声功率级（分贝，dB）

N =声功率（W）

N_ref = 10^-12参考声功率（W）

人耳能够听到的声音功率范围为10^-12 W到10-100 W，范围：10 / 10^-12 = 10¹³。

 

1 算例–声功率级：

来自声源a的声功率为0.0015W。声功率级可计算为：

L_N = 10 log₁₀ ((0.0015 W) / (10^-12 W))

= 91.8 dB

机器的声功率级为100 dB。 可以通过将声功率公式的重新排列得到：

N = 10^((L_N ^{– 120) / 10)} 

= 10^{(((100 dB) – 120) / 10)} 

= 0.01 W

2   声音强度等级（dB）：

声音强度也可以相对于参考强度（听力阈值）为10^-12 W / m²的对数“分贝”量度表示为

L_I = 10 log₁₀(I / I_ref)

= 10 log₁₀(I) + 120

其中：

L_I =声音强度水平（分贝，dB）

I =声音强度（W / m²）

I_ref = 10^-12参考声强（W / m²）

 

3  声强级和声压级的值几乎相同：

LI = Lp – 0.2 

其中：

L_p = 声压级 (dB)

4  算例-声音强度和压力水平-与声源的距离

每单位周围表面的声功率传递：

N = 4 π r² I

距100 dB机器1 m处的声音强度-

I = N / (4 π r²)

= (0.01 W) / (4 π (1 m)²)

= 0.0008 W/m²

声音强度等级可计算为：

L_I ≈ L_p ≈ 10 log₁₀(0.0008 W/m²) + 120

= 89 dB

距100 dB机器10 m处的声音强度：

I = N / (4 π r2)

   = (0.01 W) / (4 π (10 m)²)

   = 0.000008 W/m²  

声音强度等级可计算为：

L_I ≈ L_p ≈ 10 log₁₀(0.000008 W/m²) + 120

= 69 dB

5  常见声功率及声功率等级（分贝）

来自一些常见来源的声功率（瓦特）和声功率级（分贝）如下：

声源	声功率 N （W）	声功率等级 LN （dB-10-12 W）
火箭	100,000,000	200
涡轮喷气发动机	100,000	170
–	10,000	160
喷气发动机内部测试单元	1,000	150
喷气飞机起飞
大型离心风机，800.000 m3 / h	100	140
涡轮螺旋桨飞机起飞时
轴流风机，100.000 m3 / h	10	130
机枪
大型管风琴
大型凿锤	1	120
交响乐团
客运飞机上的喷气飞机
重雷
音爆
小型飞机发动机
拖拉机150马力
离心风机，25.000 m3 / h	0.1	110
加速摩托车
重金属，硬摇滚乐队音乐
炽热的收音机
链锯
木工车间
大型空压机
电动机100 hp / 2600 rpm
气凿	0.01	100
地铁钢轮
电磁钻床
高压气体泄漏
钢板敲打
驱动齿轮
高速行驶的汽车
普通风扇
真空泵
敲打钢板
木工刨
空气压缩机
螺旋桨飞机
舷外马达
嘈杂的街道噪音
动力草坪机
气动钻
直升机
切割锯	0.001	90
锤磨机
小型空压机
磨床
重型柴油车
繁忙的城市交通
剪草机
飞机客舱正常飞行
厨房搅拌机
纺纱机
地铁列车
气动手提凿岩机
闹钟	0.0001	80
吸尘器
洗碗机
冲厕	0.00001	70
印刷机
里面的有轨电车
嘈杂的办公室
车内
干衣机
大型百货公司	0.000001	60
繁忙的餐厅或食堂
换气扇
嘈杂的家
普通办公室
电吹风
带窗户空调的房间	0.0000001	50
办公室空气扩散器
安静的办公室
平均房屋
退出街
声音低	0.00000001	40
小型电钟
私人办公室
安静的家
冰箱
鸟唱歌
环境荒野
农业用地
午夜安静住宅中的房间	0.000000001	30
安静的对话
广播/录音室的背景噪音
沙沙作响的叶子	1E-10	20
空礼堂
耳语
观看滴答声
农村环境
人类的呼吸	1E-11	10
	1E-12	0

1  牛顿第一定律

孤立质点保持静止或做匀速直线运动。

2 牛顿第二定律

物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，且与物体质量的倒数成正比；加速度的方向跟作用力的方向相同。

3 牛顿第三定律

相互作用的两个质点之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。

4 自由落体的速度和距离

牛顿第二定律的重力表达式为：

W = F_g

    = m a_g        

    = m g 

其中：

• W，Fg =重量，重力（N）
• m =质量（kg）
• a_g = g =重力加速度（9.81 m / s²）

质量是物质一种属性-是标量，而力是向量。

可以通过测量与自由落体的时间变化相关的速度变化来观察重力加速度：

a_g = dv / dt

其中：

• dv =速度变化（m / s）
• dt =时间变化（秒）

自由落体在1秒内加速达到9.81 m / s的速度。

注意：忽略空气阻力时，靠近地面的重物和轻体将以相同的加速度掉落到地球上。

4.1 不同单位制下的重力加速度

1 a_g = 1 g = 9.81 m/s² = 35.30394 (km/h)/s

1 a_g = 1 g = 32.174 ft/s² = 386.1 in/s² = 22 mph/s

一段时间后自由落体的速度可以计算为：

v = a_g t  

其中：

• t =时间（s）
• v = 速度(m/s)

自由下落的物体经过一段时间后所经过的距离可以表示为：

s = 1/2 a_g t² 

其中：

• s =物体行进的距离（m）

4.2 自由落体的下落的速度和距离：

时间	速度	速度	速度	速度	距离	距离
(s)	m/s	km/h	ft/s	mph	m	ft
1	9.8	35.3	32.2	21.9	4.9	16.1
2	19.6	70.6	64.3	43.8	19.6	64.3
3	29.4	106	96.5	65.8	44.1	144.8
4	39.2	141	128.7	87.7	78.5	257.4
5	49.1	177	160.9	110	122.6	402.2
6	58.9	212	193	132	176.6	579.1
7	68.7	247	225.2	154	240.3	788.3
8	78.5	283	257.4	176	313.9	1,029.60
9	88.3	318	289.6	198	397.3	1,303.00
10	98.1	353	321.7	219	490.5	1608.7

表 1

注：上表为没有空气动力阻力（真空条件）的情况下实现了速度和距离。 真实情况取决于形状和表面积，较高速度的物体的空气阻力（或阻力）可能很大。

1  加速度方程

加速度：速度与所用时间的变化比率，可表示为：

2  算例

如果摩托车在3秒内从0 km / h加速到100 km / h，则加速度可以计算为：

a = ((100 km/h) – (0 km/h)) (1000 m/km) / (3600 s/h)) / (3 s)

    = 9.26 (m/s²)

 

应力定义：在连续介质力学里，应力定义为单位面积所承受个作用力。

假设受力表面施力方向正交，则叫此应力分量为正应力。

假设受力表面受力方向互相平行，则叫此应力分量为剪应力。

 

1  正应力（法向应力）

 

正应力可以表示为：

σ = F_N / A 

式 1

其中：

• σ=法向应力（N / m²，Pa）
• F_N =垂直于该区域的作用力-法向力（N）
• A =截面积（m²）

 

2  剪应力

 

剪应力可以表示为：

τ= F_V / A   

式 2

其中：

• τ=剪应力（N / m2，Pa）
• F_V =在该平面上施加的剪力（N）
• A =截面积（m²）

 

3  算例-梁的法向应力

10000 N的力作用于10号工字钢 100 x 68 x 4.5，横截面为14.3 cm²。 列中的法向应力可以计算为

σ = (10000 N) / ((14.3 cm²) (0.0001 m²/cm²) 

   = 6993007 Pa (N/m²)

   = 7.0 MPa

屈服强度（材料在从弹性变形转变为塑性变形之前可以承受的应力量）对于钢而言通常为250 MPa。